РуЛиб - онлайн библиотека > Паршаков Дмитрий > Самиздат, сетевая литература > Алгоритм решения 10 проблемы Гильберта
Читаем онлайн «Алгоритм решения 10 проблемы Гильберта»
- 123 . . . последняя (4) »
Постановка задачи
В 1900г. на 1 Международном математическом конгрессе, известный математик Давид Гильберт[1] поставил перед математиками всего мира 23 задачи. Эти задачи принято называть "Проблемами Гильберта". Решением десятой проблемы Гильберта стало признание ее неразрешимости, доказанное советским математиком Ю.В.Матясевичем [2] в 1970г. Доказательство неразрешимости Матиясевича признано как единственно допустимое, но возможно это не так. Итак, для того, чтобы опровергнуть, либо подтвердить это доказательство нужно вначале напомнить задачу, определенную Д.Гильбертом в 10-й проблеме. «Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах» То есть нужно найти некий алгоритм, при помощи которого возможно находить натуральные (целочисленные) значения для произвольных неизвестных.Решение проблемы
Самое известное уравнение Диофанта[3] это формула Пифагора[4].Известны также так называемые «тройки Пифагора», целочисленные значения для неизвестных «a,b,c» 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25 и т.д. Эти тройки имеют два сходства: первое – квадрат первого числа равен сумме двух других чисел, второе – разница между вторым и третьим числом равна 1. Следовательно, можно предположить, что это не случайные совпадения. Исходя из этого, составим равенства
Теперь, используя все эти формулы, составим уравнения
Подставим эти уравнения в формулу Пифагора
Получилось равенство значений правой и левой сторон уравнения. Это можно считать доказательством существования алгоритма нахождения натуральных значений «пифагоровых троек». Итак, обобщим формулы алгоритма и собственно получившийся алгоритм
Но эти формулы диофантовы лишь для нечетных чисел, хотя при постановке в формулы четных чисел для «а» также можно найти значения двух других чисел «b» «c», эти значения будут рациональными, но не целыми числами. Пример № 1 «а»= 8
Также, применяя этот алгоритм, можно находить соответствующие значения «троек» для любых рациональных чисел. Пример № 2 a=2,5
Так как закономерностью алгоритма является соотношение
то значение «c» можно найти, добавив к числу «b» 1
Алгоритм верен и для дробей Пример № 3
И для квадратных корней Пример № 4
Применяя этот алгоритм, можно находить значения практически всех троек Пифагора. Однако существуют тройки, которые не подходят к этому алгоритму: 20,21,29;
- 123 . . . последняя (4) »