РуЛиб - онлайн библиотека > Жилкин Виталий > САПР > Численный расчет тонкостенных стержней открытого профиля в MSC Patran-Nastran > страница 3
Читаем онлайн «Численный расчет тонкостенных стержней открытого профиля в MSC Patran-Nastran» 3 cтраница
- 12345 . . . последняя (6) »
функции;
Ф1(x) = 1; Ф2(x) = x; Ф3(x) = ch(βx) – 1;
Ф4(x) = sh(βx) – βx.
Частное решение:
∗
Φ=
( x)
x
1
Φ4 ( x − ξ) m (ξ) d ξ .
EJ ω 0
∫
(8)
При отсутствии распределенной нагрузки
Φ∗ ( x ) ≡ 0 .
При изгибе и кручении тонкостенного
стержня с постоянными параметрами упругости нормальные напряжения определяются по
формуле
N
My
M
d 2θ
=
σ E + z
− y z − 2 ω
F
Jy
J z dx
или, вводя понятие бимомента
M ω=
∫ σωdF ,
F
σ=
My
M
M
N
+z
− y z +ω ω .
F
Jy
Jz
Jω
(9)
Здесь оси x и y являются главными осями
инерции.
Таблица 1
Сопротивление
материалов, MathCAD
F = 1,58·103
Площадь, мм2
4
Осевой момент инерции, мм
Jx = 4,971·106
Геометрическая жесткость на кручение, мм4
Jk = 2,513·104
Центр тяжести поперечного сечения, мм
xЦТ = 19,241
Расстояние от стенки швеллера до центра жесткости, мм
xC = 20,702
Расстояние между центром жесткости и центром тяжести, мм xЦТ + xC = 39,911
Геометрическая характеристика
86
MSC Patran
A = 1580
Jx = 4981307
Jk = 25126,67
xЦТ = 19,20886
xC = 20,701754
39,91061
σ max=
Так как на правом торце балки при x = L
напряжения σ отсутствуют, то
M max_ изг PL h
=
= 8, 432 Н/мм2 (МПа),
Wy
Jy 2
=
zmax
∫
3
PL
= 0,072 мм.
3EJ y
F
σωdF = −
d 2θ
EJ ω = 0 и, следовательно,
d2x
d 2θ
При изгибе в плоскости наибольшей жест(13)
( L) ≡ 0 .
d 2x
кости (xoz), но при приложении нагрузки в центре тяжести поперечного сечения швеллера
Крутящий момент на правом торце балки
балка не только изгибается, но и скручивается. равен Mk = Pe, и, принимая во внимание уравнеЖесткое защемление одного из торцов балки ние (5), получим
препятствует свободному перемещению точек
dθ
d 3θ
сечений, примыкающих к заделке, в резуль(14)
GJ k
L
EJ
L =
Pe .
−
( )
ω
3 ( )
dx
dx
тате чего сечения депланируют. Каждая точка
срединной линии тонкостенного сечения хаОткуда при учете (13), (11) (14), (11) и (12)
рактеризуется теперь не двумя, а тремя коор- после преобразований найдем
динатами: y, z, ω. Если при вычислении сектоB
Pe
.
(15)
риальных характеристик поперечного сечения
A=
− th ( βL ) ; B = −
EJ ω
β
выбраны главная нулевая секториальная точка
По (10) и (15) угол поворота поперечных
(для нее секториальная координата равна нулю)
и центр поворота в центре изгиба, то сектори- сечений определяется выражением
альный момент инерции
Pe
=
θ
{th(βL) ch (βx ) − 1 − sh (βx ) + βx} , (16)
3
2
9
6
β EJ ω
J ω =∫ ω dF =1,74 ⋅ 10 мм
а нормальные напряжения, вызванные стеснен(F )
остается единственной геометрической величи- ным кручением, по формуле
ной, характеризующей сопротивляемость тонPeω sh β ( L − x )
костенного стержня искривлениям поперечных
.
(17)
σω ( x ) =
βJ ω
ch ( βL )
сечений.
Определим угол поворота свободного торПостроим эпюру нормальных напряжеца балки.
ний стесненного кручения σω(0) в опасном сеВ рассматриваемом нами случае при x = 0
чении профиля в MathCAD (рис. 1). Точки с1
и с2 – крайние точки полок швеллера (с1 – нижdθ
няя точка, с2 – верхняя точка); точки с11 и с22 –
θ ( 0) ≡ 0 ,
( 0) ≡ 0
dx
угловые точки швеллера, нижняя и верхняя.
решение (7) дифференциального уравнения (5)
Эпюра суммарных нормальных напряжений
примет вид
в опасном сечении приведена на рисунке 2. Как
следует из приведенного рисунка, максимальные
A
B
,
(10)
суммарные нормальные напряжения значитель=
θ
ch
β
x
−
1
+
sh
β
x
−
β
x
(
)
(
)
(
)
(
)
β2
β3
но превышают нормальные напряжения, вызвангде для сокращения записей введены обозна- ные изгибом (21,006 МПа против 8,432 МПа).
чения:
При деформации изгиба сечение стержня
получает
поступательное смещение вдоль осей
d 2θ
d 3θ
y и z. Деформация кручения приводит к повороA = 2 ( 0) ; B = 3 ( 0) .
dx
dx
ту на угол θ вокруг оси, проходящей через ценНайдем производные от выражения (10)
тры жесткости сечения. Связь упругих перемещений (V, W) центров тяжести сечений стержня
dθ A
B
и центров жесткости (V1, W1) выражается следуsh ( βx ) + 2 ( ch ( βx ) − 1) ;
=
dx β
β
ющими соотношениями:
d 2θ
B
= Ach ( βx ) + sh ( βx ) ;
2
β
dx
d 3θ
= Aαsh ( βx ) + Bch ( βx ) .
dx3
(11)
V = V1 + ez θ ; W = W1 + e y θ ,
(12)
где ey, ez – координаты центра жесткости,
ezθ = const и eyθ = const.
87
В е с т н и к ЧГАА. 2013. Том 65
Рис. 1
Рис. 2
Properties…, указывается, что с опцией General
Section Beam будет использоваться элемент BAR
(рис. 3), элемент общего назначения, который
применяется при расчетах на растяжение-сжатие, кручение и поперечный изгиб в двух перпендикулярных плоскостях. В этом элементе
реализуется гипотеза плоских сечений и потому он не может учесть депланацию сечения
тонкостенных профилей.
После задания граничных условий на экране монитора появится изображение сечения
с приложенной к оси бруса силой, проходящей
через центр тяжести сечения (рис. 4).
Результаты расчета балки в приложении
Analysis, в точности совпадающей с величиной максимальных изгибных напряжений σmax,
найденных по формулам сопротивления
Таким образом,
Ф1(x) = 1; Ф2(x) = x; Ф3(x) = ch(βx) – 1;
Ф4(x) = sh(βx) – βx.
Частное решение:
∗
Φ=
( x)
x
1
Φ4 ( x − ξ) m (ξ) d ξ .
EJ ω 0
∫
(8)
При отсутствии распределенной нагрузки
Φ∗ ( x ) ≡ 0 .
При изгибе и кручении тонкостенного
стержня с постоянными параметрами упругости нормальные напряжения определяются по
формуле
N
My
M
d 2θ
=
σ E + z
− y z − 2 ω
F
Jy
J z dx
или, вводя понятие бимомента
M ω=
∫ σωdF ,
F
σ=
My
M
M
N
+z
− y z +ω ω .
F
Jy
Jz
Jω
(9)
Здесь оси x и y являются главными осями
инерции.
Таблица 1
Сопротивление
материалов, MathCAD
F = 1,58·103
Площадь, мм2
4
Осевой момент инерции, мм
Jx = 4,971·106
Геометрическая жесткость на кручение, мм4
Jk = 2,513·104
Центр тяжести поперечного сечения, мм
xЦТ = 19,241
Расстояние от стенки швеллера до центра жесткости, мм
xC = 20,702
Расстояние между центром жесткости и центром тяжести, мм xЦТ + xC = 39,911
Геометрическая характеристика
86
MSC Patran
A = 1580
Jx = 4981307
Jk = 25126,67
xЦТ = 19,20886
xC = 20,701754
39,91061
σ max=
Так как на правом торце балки при x = L
напряжения σ отсутствуют, то
M max_ изг PL h
=
= 8, 432 Н/мм2 (МПа),
Wy
Jy 2
=
zmax
∫
3
PL
= 0,072 мм.
3EJ y
F
σωdF = −
d 2θ
EJ ω = 0 и, следовательно,
d2x
d 2θ
При изгибе в плоскости наибольшей жест(13)
( L) ≡ 0 .
d 2x
кости (xoz), но при приложении нагрузки в центре тяжести поперечного сечения швеллера
Крутящий момент на правом торце балки
балка не только изгибается, но и скручивается. равен Mk = Pe, и, принимая во внимание уравнеЖесткое защемление одного из торцов балки ние (5), получим
препятствует свободному перемещению точек
dθ
d 3θ
сечений, примыкающих к заделке, в резуль(14)
GJ k
L
EJ
L =
Pe .
−
( )
ω
3 ( )
dx
dx
тате чего сечения депланируют. Каждая точка
срединной линии тонкостенного сечения хаОткуда при учете (13), (11) (14), (11) и (12)
рактеризуется теперь не двумя, а тремя коор- после преобразований найдем
динатами: y, z, ω. Если при вычислении сектоB
Pe
.
(15)
риальных характеристик поперечного сечения
A=
− th ( βL ) ; B = −
EJ ω
β
выбраны главная нулевая секториальная точка
По (10) и (15) угол поворота поперечных
(для нее секториальная координата равна нулю)
и центр поворота в центре изгиба, то сектори- сечений определяется выражением
альный момент инерции
Pe
=
θ
{th(βL) ch (βx ) − 1 − sh (βx ) + βx} , (16)
3
2
9
6
β EJ ω
J ω =∫ ω dF =1,74 ⋅ 10 мм
а нормальные напряжения, вызванные стеснен(F )
остается единственной геометрической величи- ным кручением, по формуле
ной, характеризующей сопротивляемость тонPeω sh β ( L − x )
костенного стержня искривлениям поперечных
.
(17)
σω ( x ) =
βJ ω
ch ( βL )
сечений.
Определим угол поворота свободного торПостроим эпюру нормальных напряжеца балки.
ний стесненного кручения σω(0) в опасном сеВ рассматриваемом нами случае при x = 0
чении профиля в MathCAD (рис. 1). Точки с1
и с2 – крайние точки полок швеллера (с1 – нижdθ
няя точка, с2 – верхняя точка); точки с11 и с22 –
θ ( 0) ≡ 0 ,
( 0) ≡ 0
dx
угловые точки швеллера, нижняя и верхняя.
решение (7) дифференциального уравнения (5)
Эпюра суммарных нормальных напряжений
примет вид
в опасном сечении приведена на рисунке 2. Как
следует из приведенного рисунка, максимальные
A
B
,
(10)
суммарные нормальные напряжения значитель=
θ
ch
β
x
−
1
+
sh
β
x
−
β
x
(
)
(
)
(
)
(
)
β2
β3
но превышают нормальные напряжения, вызвангде для сокращения записей введены обозна- ные изгибом (21,006 МПа против 8,432 МПа).
чения:
При деформации изгиба сечение стержня
получает
поступательное смещение вдоль осей
d 2θ
d 3θ
y и z. Деформация кручения приводит к повороA = 2 ( 0) ; B = 3 ( 0) .
dx
dx
ту на угол θ вокруг оси, проходящей через ценНайдем производные от выражения (10)
тры жесткости сечения. Связь упругих перемещений (V, W) центров тяжести сечений стержня
dθ A
B
и центров жесткости (V1, W1) выражается следуsh ( βx ) + 2 ( ch ( βx ) − 1) ;
=
dx β
β
ющими соотношениями:
d 2θ
B
= Ach ( βx ) + sh ( βx ) ;
2
β
dx
d 3θ
= Aαsh ( βx ) + Bch ( βx ) .
dx3
(11)
V = V1 + ez θ ; W = W1 + e y θ ,
(12)
где ey, ez – координаты центра жесткости,
ezθ = const и eyθ = const.
87
В е с т н и к ЧГАА. 2013. Том 65
Рис. 1
Рис. 2
Properties…, указывается, что с опцией General
Section Beam будет использоваться элемент BAR
(рис. 3), элемент общего назначения, который
применяется при расчетах на растяжение-сжатие, кручение и поперечный изгиб в двух перпендикулярных плоскостях. В этом элементе
реализуется гипотеза плоских сечений и потому он не может учесть депланацию сечения
тонкостенных профилей.
После задания граничных условий на экране монитора появится изображение сечения
с приложенной к оси бруса силой, проходящей
через центр тяжести сечения (рис. 4).
Результаты расчета балки в приложении
Analysis, в точности совпадающей с величиной максимальных изгибных напряжений σmax,
найденных по формулам сопротивления
Таким образом,
- 12345 . . . последняя (6) »