РуЛиб - онлайн библиотека > Ткачева Мария > Советские учебники и пособия > Изучение алгебры и начал математического анализа в 11 классе. Книга для учителя > страница 2
Читаем онлайн «Изучение алгебры и начал математического анализа в 11 классе. Книга для учителя» 2 cтраница
- 1234 . . . последняя (62) »
класса. Для организации повторения на данном и последующих уроках можно использовать
отдельные плакаты (или презентацию, кадры которой могут соответствовать этим плакатам). Ниже приведем тексты плакатов и
рисунки к каждому из них.
ПЛАКАТ 1. Поворот точки вокруг начала координат (рис. 1)
Точка М получена из точки Р (1; 0) поворотом вокруг начала
координат на угол x радиан, где х > 0.
Точка М1 получена из точки Р (1; 0) поворотом вокруг начала
координат на угол х радиан, где х < 0.
Если х = х0 + 2πп, п ∈ Z, то при повороте на угол x получается
та же самая точка, что и при повороте на угол х0.
Рис. 1
4
ПЛАКАТ 2. Определение синуса, косинуса и тангенса числа
(рис. 2)
sin x — ордината точки A, sin x1 — ордината точки А1,
sin x2 — ордината точки А2.
cos x — абсцисса точки A, cos x1 — абсцисса точки А1,
cos x2 — абсцисса точки А2.
sin x 1
sin x 2
sin x
= tg x 1 ,
= tg x 2 .
= tg x ,
cos x
cos x 1
cos x 2
Рис. 2
ПЛАКАТ 3. Знаки значений синуса, косинуса, тангенса
(рис. 3)
sin x > 0 в I и II четвертях; sin x < 0 в III и IV четвертях.
cos x > 0 в I и IV четвертях; cos x < 0 во II и III четвертях.
tg x > 0 в I и III четвертях; tg x < 0 во II и IV четвертях.
Рис. 3
5
ПЛАКАТ 4. Синус, косинус и тангенс углов х и
sin (−x) = −sin x;
cos (−x) = cos x;
x (рис. 4)
tg (−x) = −tg x.
Рис. 4
ПЛАКАТ 5. Решение простейших тригонометрических
уравнений (частные случаи) (рис. 5)
π
cos x = 1, х = 2πп, п ∈ Z;
sin x = 1, x = + 2πn, п ∈ Z;
2
π
cos x = −1, x = π + 2πп, п ∈ Z;
sin x = −1, х = − + 2πn, n ∈ Z;
2
π
sin x = 0, x = πn, п ∈ Z;
cos x = 0, х = + πn, п ∈ Z.
2
Рис. 5
ПЛАКАТ 6. Зависимость между синусом, косинусом
и тангенсом одного и того же угла
sin2 x + cos2 x = 1,
tg x =
sin x = ± 1 − cos 2 x , cos x = ± 1 − sin 2 x ,
1
1
1
, 1 + tg 2 x =
, 1 + ctg 2 x =
.
ctg x
cos 2 x
sin 2 x
6
ПЛАКАТ 7. Решение тригонометрических уравнений
sin x = a, x = (−1)n arcsin а + πn, п ∈ Z (рис. 6).
cos x = а, х = ±arccos а + 2πп, п ∈ Z (рис. 7).
tg x = а, х = arctg a + πn, n ∈ Z (рис. 8).
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
7
ПЛАКАТ 8. Ограниченная функция
Функция у = f (x) является ограниченной на множестве X тогда и только тогда, когда существует число С > 0, такое, что для
любого x ∈ X выполняется неравенство | f (x) | ≤ С.
Это означает, что все точки графика функции у = f (x), х ∈ Х,
лежат в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми y = С,
у = −С (рис. 9).
Рис. 9
Рассматривая рисунки и вспоминая теоретический материал,
им соответствующий, учащиеся подготовятся не только к восприятию нового теоретического материала, но и к решению задач, изложенных как в этом, так и в последующих параграфах. Подобная работа с плакатами будет полезна при изучении всей главы и
при повторении.
Для актуализации знаний учащихся и общеобразовательных,
и профильных классов на этих уроках могут быть использованы
приведенные ниже у п р а ж н е н и я.
1. Выяснить, в какой четверти расположена точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на
угол, равный х радиан, если: 1) x = 1,09; 2) x = −2,9; 3) x = 4,1;
4) x = −6.
2. Выяснить, в какой четверти расположена точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на угол,
равный 190π.
3. Определить знак числа: 1) sin 1,09; 2) cos (−2,9); 3) sin 4,1;
4) tg (− 6).
4. Расположена ли на единичной окружности точка с координатами: 1) (cos 1; sin 1); 2) (cos (−20); sin (−20)); 3) (0,4; 0,5)?
5. Может ли синус принимать значение: 1) равное 0; 2) меньшее −1; 3) большее 1? Может ли такие значения принимать косинус? тангенс?
6. Назвать три числа, косинус которых равен: 1) 0,5; 2) 0,3;
3) а, если | а | < 1.
7. Решить уравнение: 1) sin x = 0,2; 2) cos x = −1; 3) tg x = 5;
4) cos x = 1,001; 5) sin x = 1.
8
8. При каких значениях а имеет решение уравнение:
1) 2 sin x = а; 2) cos 3x = а?
π πn
9. Имеет ли смысл выражение tg 2x, если x = +
, п ∈ Z?
4
2
10. Является ли ограниченной сверху или снизу функция:
1) у = −2х2 + 3х − 2; 2) у = х2 − 7х + 5?
11. Привести пример графика функции, ограниченной на отрезке [−3; 3].
Ввести понятие тригонометрической функции необходимо,
опираясь на известные учащимся сведения о соответствии каждому действительному числу x единственной точки единичной
окружности. Опираясь на вышеуказанные плакаты, учащиеся
профильных классов самостоятельно, а общеобразовательных с
помощью учебника могут решить проблему нахождения области
определения, множества значений и выяснения ограниченности
функций y = sin х, у = cos х, у = tg x.
В профильных классах желательно провести рассуждения,
показывающие неограниченность функций у = tg x, у = ctg x.
Для этого учащиеся должны составить отрицание того высказывания, которое приведено на плакате 8 и является определением
ограниченной функции. Пусть условие, что существует число
С > 0, такое, что для любого x ∈ X верно неравенство | f (x) | ≤ С
не выполняется, т. е. не существует такое число С > 0, чтобы неравенство | f (x) | ≤ С было верным для всех х ∈ Х. Иными словами, для любого С > 0 указанное неравенство не может выполняться для всех x ∈ X. Это означает, что оно не выполняется
хотя бы для одного значения хс ∈ X, т. е. выполняется противоположное неравенство | f (xc) | > С. Затем
отдельные плакаты (или презентацию, кадры которой могут соответствовать этим плакатам). Ниже приведем тексты плакатов и
рисунки к каждому из них.
ПЛАКАТ 1. Поворот точки вокруг начала координат (рис. 1)
Точка М получена из точки Р (1; 0) поворотом вокруг начала
координат на угол x радиан, где х > 0.
Точка М1 получена из точки Р (1; 0) поворотом вокруг начала
координат на угол х радиан, где х < 0.
Если х = х0 + 2πп, п ∈ Z, то при повороте на угол x получается
та же самая точка, что и при повороте на угол х0.
Рис. 1
4
ПЛАКАТ 2. Определение синуса, косинуса и тангенса числа
(рис. 2)
sin x — ордината точки A, sin x1 — ордината точки А1,
sin x2 — ордината точки А2.
cos x — абсцисса точки A, cos x1 — абсцисса точки А1,
cos x2 — абсцисса точки А2.
sin x 1
sin x 2
sin x
= tg x 1 ,
= tg x 2 .
= tg x ,
cos x
cos x 1
cos x 2
Рис. 2
ПЛАКАТ 3. Знаки значений синуса, косинуса, тангенса
(рис. 3)
sin x > 0 в I и II четвертях; sin x < 0 в III и IV четвертях.
cos x > 0 в I и IV четвертях; cos x < 0 во II и III четвертях.
tg x > 0 в I и III четвертях; tg x < 0 во II и IV четвертях.
Рис. 3
5
ПЛАКАТ 4. Синус, косинус и тангенс углов х и
sin (−x) = −sin x;
cos (−x) = cos x;
x (рис. 4)
tg (−x) = −tg x.
Рис. 4
ПЛАКАТ 5. Решение простейших тригонометрических
уравнений (частные случаи) (рис. 5)
π
cos x = 1, х = 2πп, п ∈ Z;
sin x = 1, x = + 2πn, п ∈ Z;
2
π
cos x = −1, x = π + 2πп, п ∈ Z;
sin x = −1, х = − + 2πn, n ∈ Z;
2
π
sin x = 0, x = πn, п ∈ Z;
cos x = 0, х = + πn, п ∈ Z.
2
Рис. 5
ПЛАКАТ 6. Зависимость между синусом, косинусом
и тангенсом одного и того же угла
sin2 x + cos2 x = 1,
tg x =
sin x = ± 1 − cos 2 x , cos x = ± 1 − sin 2 x ,
1
1
1
, 1 + tg 2 x =
, 1 + ctg 2 x =
.
ctg x
cos 2 x
sin 2 x
6
ПЛАКАТ 7. Решение тригонометрических уравнений
sin x = a, x = (−1)n arcsin а + πn, п ∈ Z (рис. 6).
cos x = а, х = ±arccos а + 2πп, п ∈ Z (рис. 7).
tg x = а, х = arctg a + πn, n ∈ Z (рис. 8).
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
7
ПЛАКАТ 8. Ограниченная функция
Функция у = f (x) является ограниченной на множестве X тогда и только тогда, когда существует число С > 0, такое, что для
любого x ∈ X выполняется неравенство | f (x) | ≤ С.
Это означает, что все точки графика функции у = f (x), х ∈ Х,
лежат в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми y = С,
у = −С (рис. 9).
Рис. 9
Рассматривая рисунки и вспоминая теоретический материал,
им соответствующий, учащиеся подготовятся не только к восприятию нового теоретического материала, но и к решению задач, изложенных как в этом, так и в последующих параграфах. Подобная работа с плакатами будет полезна при изучении всей главы и
при повторении.
Для актуализации знаний учащихся и общеобразовательных,
и профильных классов на этих уроках могут быть использованы
приведенные ниже у п р а ж н е н и я.
1. Выяснить, в какой четверти расположена точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на
угол, равный х радиан, если: 1) x = 1,09; 2) x = −2,9; 3) x = 4,1;
4) x = −6.
2. Выяснить, в какой четверти расположена точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на угол,
равный 190π.
3. Определить знак числа: 1) sin 1,09; 2) cos (−2,9); 3) sin 4,1;
4) tg (− 6).
4. Расположена ли на единичной окружности точка с координатами: 1) (cos 1; sin 1); 2) (cos (−20); sin (−20)); 3) (0,4; 0,5)?
5. Может ли синус принимать значение: 1) равное 0; 2) меньшее −1; 3) большее 1? Может ли такие значения принимать косинус? тангенс?
6. Назвать три числа, косинус которых равен: 1) 0,5; 2) 0,3;
3) а, если | а | < 1.
7. Решить уравнение: 1) sin x = 0,2; 2) cos x = −1; 3) tg x = 5;
4) cos x = 1,001; 5) sin x = 1.
8
8. При каких значениях а имеет решение уравнение:
1) 2 sin x = а; 2) cos 3x = а?
π πn
9. Имеет ли смысл выражение tg 2x, если x = +
, п ∈ Z?
4
2
10. Является ли ограниченной сверху или снизу функция:
1) у = −2х2 + 3х − 2; 2) у = х2 − 7х + 5?
11. Привести пример графика функции, ограниченной на отрезке [−3; 3].
Ввести понятие тригонометрической функции необходимо,
опираясь на известные учащимся сведения о соответствии каждому действительному числу x единственной точки единичной
окружности. Опираясь на вышеуказанные плакаты, учащиеся
профильных классов самостоятельно, а общеобразовательных с
помощью учебника могут решить проблему нахождения области
определения, множества значений и выяснения ограниченности
функций y = sin х, у = cos х, у = tg x.
В профильных классах желательно провести рассуждения,
показывающие неограниченность функций у = tg x, у = ctg x.
Для этого учащиеся должны составить отрицание того высказывания, которое приведено на плакате 8 и является определением
ограниченной функции. Пусть условие, что существует число
С > 0, такое, что для любого x ∈ X верно неравенство | f (x) | ≤ С
не выполняется, т. е. не существует такое число С > 0, чтобы неравенство | f (x) | ≤ С было верным для всех х ∈ Х. Иными словами, для любого С > 0 указанное неравенство не может выполняться для всех x ∈ X. Это означает, что оно не выполняется
хотя бы для одного значения хс ∈ X, т. е. выполняется противоположное неравенство | f (xc) | > С. Затем
- 1234 . . . последняя (62) »