РуЛиб - онлайн библиотека > Ландау Лев > Физика > Теоретическая физика в 10т. Т.3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) > страница 9
Читаем онлайн «Теоретическая физика в 10т. Т.3. Квантовая механика (нерелятивистская теория)» 9 cтраница
выражения есть
J J 4>(q)^{q')v{q,q')dqdq[,
(2.1)
где функция (f(q,qf) зависит от рода и результата измерения, а
интегрирования производятся по всему конфигурационному про
странству. Сама вероятность ФФ* различных значений коорди
нат тоже является выражением такого ти п а2) .
С течением времени состояние системы, а с ним и волновая
функция, вообще говоря, меняются. В этом смысле волновую
функцию можно рассматривать как функцию также и от вре
мени. Если волновая функция известна в некоторый начальный
момент времени, то по самому смыслу понятия полного описа
ния состояния она тем самым в принципе определена и во все
будущие моменты времени. Фактическая зависимость волновой
функции от времени определяется уравнениями, которые будут
выведены в дальнейшем.
Сумма вероятностей всех возможных значений координат си
стемы должна, по определению, быть равной единице. Поэтому
нужно, чтобы результат интегрирования | Ф|2 по всему конфигу
рационному пространству был равен единице:
j m 2d q =l .
(2 .2 )
Это равенство представляет собой так называемое условие нор
мировки волновых функций. Если интеграл от | Ф |2 сходится,
то выбором соответствующего постоянного коэффициента функ
ция Ф всегда может быть, как говорят, нормирована. Мы уви
дим, однако, в дальнейшем, что интеграл от | Ф|2 может рас
ходится и тогда Ф не может быть нормирована условием (2.2).
г ) Она была впервые введена в квантовую механику Шредингером
(Е. Schrodinger, 1926).
2) Оно получается из (2.1) при tp(q,q') = S(q —qo)S(q' —go), где S обозначает
так называемую ^-функцию, определяем ую ниж е, в § 5; через qo обозначено
значение координаты, вероятность которого мы ищем.
§2
П РИ Н Ц И П С У П Е РП О ЗИ Ц И И
21
В таких случаях |Ф|2 не определяет, конечно, абсолютные значе
ния вероятности координат, но отношение квадратов |Ф|2 в двух
различных точках конфигурационного пространства определяет
относительную вероятность значений координат.
Поскольку все вычисляемые с помощью волновой функции
величины с непосредственным физическим смыслом имеют
вид (2.1), в котором Ф входит умноженной на Ф*, то ясно, что
нормированная волновая функция определена лишь с точностью
до постоянного фазового множителя вида ега, где а — любое ве
щественное число. Эта неоднозначность принципиальная и не
может быть устранена; однако она несущественна, так как не
отражается ни на каких физических результатах.
В основе положительного содержания квантовой механики
лежит ряд утверждений относительно свойств волновой функ
ции, заключающихся в следующем.
Пусть в состоянии с волновой функцией Фх(^) некоторое из
мерение приводит с достоверностью к определенному результа
т у -р е зу л ь т а т у 1, а в состоянии Ф2 (д) — к результату 2. Тогда
принимается, что всякая линейная комбинация Фх и Ф2 , т. е. вся
кая функция вида с\Фх + С2 Ф2 (сх, С2 — постоянные), описывает
состояние, в котором то же измерение дает либо результат 1,
либо результат 2. Кроме того, можно утверждать, что если нам
известна зависимость состояний от времени, которая для одного
случая дается функцией Ф
а для другого — Ф2 (/) = ^ ( / ' - / ) .
Используя выражение (5.10), можно написать1)
% ( / ' ) - ? (/)] =
- /)•
I5-13)
Сравнение (5.13) с (5.4) показывает теперь, что функции Ф^ и Фу
связаны друг с другом соотношением
= VI М / ) / # Ф /'
Существуют такие физические величины, которые обладают
в некоторой области своих значений дискретным спектром, а в
другой—непрерывным. Д ля собственных функций такой вели
чины имеют, разумеется, место все те же соотношения, которые
были выведены в этом и предыдущих параграфах. Надо только
отметить, что полную систему функций образует совокупность
собственных функций обоих спектров вместе. Поэтому разложе
ние произвольной волновой функции по собственным функциям
такой величины имеет вид
( 5 ' 1 4 )
ф 0?) = ^ а пЯ>п {ч) + f af ^ f (q)df,
(5.15)
п
где сумма берется по дискретному, а интеграл — по всему непре
рывному спектру.
Примером величины, обладающей непрерывным спектром,
является сама координата q. Легко видеть, что соответствующим
ей оператором является простое умножение на q. Действительно,
х) Вообщ е, если («01
где OLi — корни уравнения (р(х) = 0.
(5 .1 3 а )
§6
ПРЕДЕЛЬНЫ Й ПЕРЕХОД
37
поскольку вероятность различных значений координаты опреде
ляется квадратом |Ф(д)|2, то среднее значение координаты
Сравнив это выражение с определением операторов соглас
но (3.8), мы видим, ч т о 1)
q = q.
(5.16)
Собственные функции этого оператора должны определяться,
согласно общему правилу, уравнением q^ q0 = qo'&qo, где посред
ством qo временно обозначены конкретные значения координа
ты в отличие от переменной q. Поскольку это равенство может
удовлетворяться либо при Фдо = 0, либо при q = q$, то ясно,
что удовлетворяющие условию нормировки собственные функ
ции есть2)
Ф90 = % -
J J 4>(q)^{q')v{q,q')dqdq[,
(2.1)
где функция (f(q,qf) зависит от рода и результата измерения, а
интегрирования производятся по всему конфигурационному про
странству. Сама вероятность ФФ* различных значений коорди
нат тоже является выражением такого ти п а2) .
С течением времени состояние системы, а с ним и волновая
функция, вообще говоря, меняются. В этом смысле волновую
функцию можно рассматривать как функцию также и от вре
мени. Если волновая функция известна в некоторый начальный
момент времени, то по самому смыслу понятия полного описа
ния состояния она тем самым в принципе определена и во все
будущие моменты времени. Фактическая зависимость волновой
функции от времени определяется уравнениями, которые будут
выведены в дальнейшем.
Сумма вероятностей всех возможных значений координат си
стемы должна, по определению, быть равной единице. Поэтому
нужно, чтобы результат интегрирования | Ф|2 по всему конфигу
рационному пространству был равен единице:
j m 2d q =l .
(2 .2 )
Это равенство представляет собой так называемое условие нор
мировки волновых функций. Если интеграл от | Ф |2 сходится,
то выбором соответствующего постоянного коэффициента функ
ция Ф всегда может быть, как говорят, нормирована. Мы уви
дим, однако, в дальнейшем, что интеграл от | Ф|2 может рас
ходится и тогда Ф не может быть нормирована условием (2.2).
г ) Она была впервые введена в квантовую механику Шредингером
(Е. Schrodinger, 1926).
2) Оно получается из (2.1) при tp(q,q') = S(q —qo)S(q' —go), где S обозначает
так называемую ^-функцию, определяем ую ниж е, в § 5; через qo обозначено
значение координаты, вероятность которого мы ищем.
§2
П РИ Н Ц И П С У П Е РП О ЗИ Ц И И
21
В таких случаях |Ф|2 не определяет, конечно, абсолютные значе
ния вероятности координат, но отношение квадратов |Ф|2 в двух
различных точках конфигурационного пространства определяет
относительную вероятность значений координат.
Поскольку все вычисляемые с помощью волновой функции
величины с непосредственным физическим смыслом имеют
вид (2.1), в котором Ф входит умноженной на Ф*, то ясно, что
нормированная волновая функция определена лишь с точностью
до постоянного фазового множителя вида ега, где а — любое ве
щественное число. Эта неоднозначность принципиальная и не
может быть устранена; однако она несущественна, так как не
отражается ни на каких физических результатах.
В основе положительного содержания квантовой механики
лежит ряд утверждений относительно свойств волновой функ
ции, заключающихся в следующем.
Пусть в состоянии с волновой функцией Фх(^) некоторое из
мерение приводит с достоверностью к определенному результа
т у -р е зу л ь т а т у 1, а в состоянии Ф2 (д) — к результату 2. Тогда
принимается, что всякая линейная комбинация Фх и Ф2 , т. е. вся
кая функция вида с\Фх + С2 Ф2 (сх, С2 — постоянные), описывает
состояние, в котором то же измерение дает либо результат 1,
либо результат 2. Кроме того, можно утверждать, что если нам
известна зависимость состояний от времени, которая для одного
случая дается функцией Ф
а для другого — Ф2 (/) = ^ ( / ' - / ) .
Используя выражение (5.10), можно написать1)
% ( / ' ) - ? (/)] =
- /)•
I5-13)
Сравнение (5.13) с (5.4) показывает теперь, что функции Ф^ и Фу
связаны друг с другом соотношением
= VI М / ) / # Ф /'
Существуют такие физические величины, которые обладают
в некоторой области своих значений дискретным спектром, а в
другой—непрерывным. Д ля собственных функций такой вели
чины имеют, разумеется, место все те же соотношения, которые
были выведены в этом и предыдущих параграфах. Надо только
отметить, что полную систему функций образует совокупность
собственных функций обоих спектров вместе. Поэтому разложе
ние произвольной волновой функции по собственным функциям
такой величины имеет вид
( 5 ' 1 4 )
ф 0?) = ^ а пЯ>п {ч) + f af ^ f (q)df,
(5.15)
п
где сумма берется по дискретному, а интеграл — по всему непре
рывному спектру.
Примером величины, обладающей непрерывным спектром,
является сама координата q. Легко видеть, что соответствующим
ей оператором является простое умножение на q. Действительно,
х) Вообщ е, если («01
где OLi — корни уравнения (р(х) = 0.
(5 .1 3 а )
§6
ПРЕДЕЛЬНЫ Й ПЕРЕХОД
37
поскольку вероятность различных значений координаты опреде
ляется квадратом |Ф(д)|2, то среднее значение координаты
Сравнив это выражение с определением операторов соглас
но (3.8), мы видим, ч т о 1)
q = q.
(5.16)
Собственные функции этого оператора должны определяться,
согласно общему правилу, уравнением q^ q0 = qo'&qo, где посред
ством qo временно обозначены конкретные значения координа
ты в отличие от переменной q. Поскольку это равенство может
удовлетворяться либо при Фдо = 0, либо при q = q$, то ясно,
что удовлетворяющие условию нормировки собственные функ
ции есть2)
Ф90 = % -