РуЛиб - онлайн библиотека > Иродов Игорь > Учебники и пособия ВУЗов > Задачи по квантовой физике > страница 3
Читаем онлайн «Задачи по квантовой физике» 3 cтраница
- 12345 . . . последняя (69) »
Резонансная линия — спектральная линия, обусловленная переходом атомов из первого возбужденного состояния в основное.
Тепловое излучение. Формула Планка
1.1. Доказать, что энергетическая светимость теплового излучения определяется формулой (1.1).
1.2. Тепловое излучение может быть представлено распределением энергии либо по длинам волн с максимумом при lm,
либо по частотам с максимумом при nm. Показать, что при одной и той же температуре lm < c/nm.
1.3. Воспользовавшись формулой Вина, показать, что:
а) наиболее вероятная частота теплового излучения wm T T;
б) энергетическая светимость M T T4.
1.4. Показать с помощью формулы Вина, что в спектре распределения теплового излучения по длинам волн:
8
а) наиболее вероятная длина волны lm T 1/T;
б) максимальная спектральная плотность энергии пропорциональна T5.
1.5. В результате расширения Вселенной после Гигантского
Взрыва возникшее электромагнитное излучение (его называют
реликтовым) имеет вид теплового излучения с максимумом испускательной способности при длине волны lm = 1,07 мм. Какова температура этого излучения?
1.6. Начальная температура теплового излучения Т = 2000 К.
На сколько кельвинов изменилась эта температура, если наиболее вероятная длина волны в его спектре увеличилась на
Dl = 260 нм?
1.7. При переходе от одной температуры к другой площадь
под кривой функции Кирхгофа ¦(l) уменьшилась в h = 13 раз.
Как и во сколько раз изменилась при этом длина волны, соответствующая максимуму функции ¦(l)?
1.8. Найти наиболее вероятную длину волны в спектре теплового излучения с энергетической светимостью М = 5,7 Вт/см2.
1.9. Солнечный спектр достаточно близок к спектру теплового излучения с наиболее вероятной длиной волны
lm = 0,48 мкм. Найти мощность теплового излучения Солнца.
Оценить время, за которое его масса уменьшится на один процент (за счет теплового излучения). Масса Солнца 2,0 × 1030 кг,
его радиус R = 7,0 × 108 м.
1.10. Имеются две полости 1 и 2 с малыми отверстиями одинакового радиуса r = 5,0 мм и абсолютно отражающими наружными поверхностями. Полости отверстиями обращены друг к
другу, причем расстояние между этими отверстиями l = 100 мм.
В полости 1 поддерживают температуру T1 = 1250 К. Найти
установившуюся температуру в полости 2. Иметь в виду, что абсолютно черное тело является косинусным излучателем.
1.11. Зная, что давление теплового излучения p = u/3, где
u — плотность энергии излучения, найти:
a) давление теплового излучения во внутренних областях
Солнца, где температура T » 1,6 × 107 К;
б) температуру Т полностью ионизированной водородной
плазмы плотностью r = 0,10 г/см3, при которой давление тепло9
вого излучеия равно кинетическому давлению частиц плазмы
(при высоких температурах вещества подчиняются уравнению
состояния для идеальных газов).
1.12. Медный шарик радиусом r = 10,0 мм с абсолютно черной поверхностью поместили в откачанный сосуд, температура
стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю.
Начальная температура шарика T0 = 300 К. Через сколько времени его температура уменьшится в h = 1,50 раза? Удельная
теплоемкость меди с = 0,38 Дж/(г×К).
1.13. Вин предложил следующую формулу для распределения энергии в спектре теплового излучения:
uw = Aw3e–aw/T,
где a = 7,64 × 10–12 К×с. Найти с помощью этой формулы при
Т = 2000 К:
а) наиболее вероятную частоту излучения;
б) среднюю частоту излучения.
1.14. Используя условия предыдущей задачи, найти:
а) наиболее вероятную волну излучения;
б) среднюю длину волны излучения.
1.15. Определить число собственных поперечных колебаний
струны l в интервале частот (w, w + dw), если скорость распространения колебаний равна v. Считать, что колебания происходят в одной плоскости.
1.16. Найти число собственных поперечных колебаний прямоугольной мембраны площадью S в интервале частот
(w, w + dw), если скорость распространения колебаний равна v.
1.17. Показать, что в полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда объемом V с абсолютно отражающими
стенками, число собственных колебаний электромагнитного
поля в интервале частот (w, w + dw) равно dZw = (V/p2c3)w2dw.
1.18. Тепловое излучение в полости можно представить как
совокупность осцилляторов (собственных колебаний) с различными частотами. Полагая, что распределение осцилляторов по
энергиям e подчиняется закону Больцмана (T e–e/kT), найти
при температуре Т среднюю энергию peq осциллятора с частотой
w, если энергия e каждого осциллятора может иметь:
10
а) любые значения (непрерывный спектр);
б) только дискретные значения nhw, где n — целые числа.
1.19. Показать, что при высокой температуре (kT J hw) выражение для средней энегии peq осциллятора (см. пункт б ответа предыдущей задачи) переходит в классическое. Изобразить
примерный график зависимости peq от w.
1.20. Получить приближенные выражения формулы Планка
при hw I kT и hw J kT.
1.21. Преобразовать формулу Планка к виду, соответствующему распределению:
а) по линейным частотам;
б) по длинам волн.
1.22. Определить с помощью формулы
Тепловое излучение. Формула Планка
1.1. Доказать, что энергетическая светимость теплового излучения определяется формулой (1.1).
1.2. Тепловое излучение может быть представлено распределением энергии либо по длинам волн с максимумом при lm,
либо по частотам с максимумом при nm. Показать, что при одной и той же температуре lm < c/nm.
1.3. Воспользовавшись формулой Вина, показать, что:
а) наиболее вероятная частота теплового излучения wm T T;
б) энергетическая светимость M T T4.
1.4. Показать с помощью формулы Вина, что в спектре распределения теплового излучения по длинам волн:
8
а) наиболее вероятная длина волны lm T 1/T;
б) максимальная спектральная плотность энергии пропорциональна T5.
1.5. В результате расширения Вселенной после Гигантского
Взрыва возникшее электромагнитное излучение (его называют
реликтовым) имеет вид теплового излучения с максимумом испускательной способности при длине волны lm = 1,07 мм. Какова температура этого излучения?
1.6. Начальная температура теплового излучения Т = 2000 К.
На сколько кельвинов изменилась эта температура, если наиболее вероятная длина волны в его спектре увеличилась на
Dl = 260 нм?
1.7. При переходе от одной температуры к другой площадь
под кривой функции Кирхгофа ¦(l) уменьшилась в h = 13 раз.
Как и во сколько раз изменилась при этом длина волны, соответствующая максимуму функции ¦(l)?
1.8. Найти наиболее вероятную длину волны в спектре теплового излучения с энергетической светимостью М = 5,7 Вт/см2.
1.9. Солнечный спектр достаточно близок к спектру теплового излучения с наиболее вероятной длиной волны
lm = 0,48 мкм. Найти мощность теплового излучения Солнца.
Оценить время, за которое его масса уменьшится на один процент (за счет теплового излучения). Масса Солнца 2,0 × 1030 кг,
его радиус R = 7,0 × 108 м.
1.10. Имеются две полости 1 и 2 с малыми отверстиями одинакового радиуса r = 5,0 мм и абсолютно отражающими наружными поверхностями. Полости отверстиями обращены друг к
другу, причем расстояние между этими отверстиями l = 100 мм.
В полости 1 поддерживают температуру T1 = 1250 К. Найти
установившуюся температуру в полости 2. Иметь в виду, что абсолютно черное тело является косинусным излучателем.
1.11. Зная, что давление теплового излучения p = u/3, где
u — плотность энергии излучения, найти:
a) давление теплового излучения во внутренних областях
Солнца, где температура T » 1,6 × 107 К;
б) температуру Т полностью ионизированной водородной
плазмы плотностью r = 0,10 г/см3, при которой давление тепло9
вого излучеия равно кинетическому давлению частиц плазмы
(при высоких температурах вещества подчиняются уравнению
состояния для идеальных газов).
1.12. Медный шарик радиусом r = 10,0 мм с абсолютно черной поверхностью поместили в откачанный сосуд, температура
стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю.
Начальная температура шарика T0 = 300 К. Через сколько времени его температура уменьшится в h = 1,50 раза? Удельная
теплоемкость меди с = 0,38 Дж/(г×К).
1.13. Вин предложил следующую формулу для распределения энергии в спектре теплового излучения:
uw = Aw3e–aw/T,
где a = 7,64 × 10–12 К×с. Найти с помощью этой формулы при
Т = 2000 К:
а) наиболее вероятную частоту излучения;
б) среднюю частоту излучения.
1.14. Используя условия предыдущей задачи, найти:
а) наиболее вероятную волну излучения;
б) среднюю длину волны излучения.
1.15. Определить число собственных поперечных колебаний
струны l в интервале частот (w, w + dw), если скорость распространения колебаний равна v. Считать, что колебания происходят в одной плоскости.
1.16. Найти число собственных поперечных колебаний прямоугольной мембраны площадью S в интервале частот
(w, w + dw), если скорость распространения колебаний равна v.
1.17. Показать, что в полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда объемом V с абсолютно отражающими
стенками, число собственных колебаний электромагнитного
поля в интервале частот (w, w + dw) равно dZw = (V/p2c3)w2dw.
1.18. Тепловое излучение в полости можно представить как
совокупность осцилляторов (собственных колебаний) с различными частотами. Полагая, что распределение осцилляторов по
энергиям e подчиняется закону Больцмана (T e–e/kT), найти
при температуре Т среднюю энергию peq осциллятора с частотой
w, если энергия e каждого осциллятора может иметь:
10
а) любые значения (непрерывный спектр);
б) только дискретные значения nhw, где n — целые числа.
1.19. Показать, что при высокой температуре (kT J hw) выражение для средней энегии peq осциллятора (см. пункт б ответа предыдущей задачи) переходит в классическое. Изобразить
примерный график зависимости peq от w.
1.20. Получить приближенные выражения формулы Планка
при hw I kT и hw J kT.
1.21. Преобразовать формулу Планка к виду, соответствующему распределению:
а) по линейным частотам;
б) по длинам волн.
1.22. Определить с помощью формулы
- 12345 . . . последняя (69) »